第四讲 专题提能——“数列”专题提能课 失误 1因忽视对 n＝1 的检验而失误 [例 1] 已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．[解析] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝[答案] an＝[点评] 在对数列的概念的理解上，仅注意了 an＝Sn－Sn－1，导致出现错误答案 an＝2n.已知 Sn求 an时，要注意进行分类讨论，能合则合，反之则分．失误 2因不会设项而解题受阻 [例 2] 已知一个等比数列{an}的前 4 项之积为，第 2,3 项的和为，则数列{an}的公比 q＝________.[解析] 设数列{an}的前 4 项分别为 a，aq，aq2，aq3，则可得所以(1＋q)4＝64q2，当 q>0 时，可得 q2－6q＋1＝0，解得 q＝3±2，当 q<0 时，可得 q2＋10q＋1＝0，解得 q＝－5±2.综上，q＝3±2 或 q＝－5±2.[答案] 3±2 或－5±2[点评] 一般地，在乘积已知的条件下，三个数成等比数列时，可将此三个数分别设为，a，aq；四个数成等比数列时，可将此四个数分别设为 a，aq，aq2，aq3，不要设为，，aq，aq3.公比为负数的等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同.失误 3因忽视公比 q 的讨论而失分 [例 3] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3＋S6＝2S9，求数列的公比 q.[解] 若 q＝1，则有 S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但 a1≠0，即得 S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故 q≠1.又依题意 S3＋S6＝2S9⇒＋＝2·⇒q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，因为 q≠1，所以 q3－1≠0，所以 2q3＋1＝0.解得 q＝－.[点评] 在等比数列中，a1≠0 是显然的，但公比 q 完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论公比 q＝1 的情况，再在 q≠1 的情况下，对式子进行整理变形． 策略 1构造辅助数列法：妙求数列的通项公式 [例 1] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．[解析] 因为 an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以 3t－t＝1，解得 t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3 为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以＝，所以 an＝.[答案] an＝[点评] 本题条件中的递推公式取倒数后化为形如 an＋1＝pan＋q(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)的递推公式，再用待定系数法把此递推公式转化为 an＋1＋t＝p(an＋t)，其中t＝，再转化为等比数列求解.策略 2赋值法：巧解数列中的...
