第三讲 小题考法——导数的简单应用考点(一)利用导数研究函数的单调性主要考查利用导数研究函数的单调性，或由函数的单调性求参数的值或范围.[题组练透]1．(2018·南京三模)若函数 f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数 a 的最大值为________．解析：由题意得，f′(x)＝ex(－x2＋2＋a)≥0 在区间[a，a＋1]上恒成立，即－x2＋2＋a≥0 在区间[a，a＋1]上恒成立，所以解得－1≤a≤，所以实数 a 的最大值为.答案：2．若函数 f(x)＝ln x－ax2－2x 存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是________．解析：f′(x)＝－ax－2＝，由题意知 f′(x)<0 有实数解， x>0，∴ax2＋2x－1>0 有实数解．当 a≥0 时，显然满足；当 a<0 时，只需 Δ＝4＋4a>0，解得－1
－1，即实数 a 的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)3．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数 f(x)，其导函数为 f′(x)，对任意正实数 x 满足xf′(x)>－2f(x)，若 g(x)＝x2f(x)，则不等式 g(x)0 时，xf′(x)＋2f(x)>0，所以 g′(x)>0，即 g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又 f(x)为偶函数，则 g(x)也是偶函数，所以 g(x)＝g(|x|)．由 g(x)1 恒成立，则 k的最大值为________．(3)(2018·江苏高考)若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则 f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．[解析] (1)因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x...
