解 祈 几 何【l】两 条 ≯¨ 伪 直 线 ” 之 曩 誊 _ 一 ． j _ ll§ 羲 _．． l二0 曩 l 。 蠡 赫 t g 臻稚 氆曩 《。 曩 一 。 秘《} 罄 鞋一 { j 。 浙 江 省绍兴 市第 一 中学 分校屠 丰 庆 直线 与 圆锥 曲线 的位 置 关 系 是 解 析 几 何 的教 学 重点 ，在 具 体 的教 学 过 程 中 ，笔 者 对 其 中 两 条 “伪 直 线 ”进行 了探 析 ，揭 开 了它 们 神秘 的 面纱 ，在将 结 论 推 广的 同时 ，明确 了两 者 的共 同渊源． 1中点弦中的“伪 直线” ．． 2 引例 已 知 曲线 C ：．，r。一 一1 ，求 以 P ( 1，1) 为 厶 中点 的双 曲线 的弦 所在 直线 方程 ． 解 ：设 直 线 与 曲线 的 交 点 为 A ( ．，r 。，Y ) ，B ( ．，r ， ．2 ．2 Y：) ，贝0 l，r 一 一1，l，r；一 一1， 厶 厶 两式 相减 整 理得 = 一2， 2g"1 。——X 2 Y l ’——Y 2 即 k 一2，所求 直 线方 程为 2l，r— 一 1— 0． 以上 解 法 思路 自然 ，方 法 简 单 ，但 看 似 完 美 的解 答却被 以下 问题 蒙 上 了一 层 神秘 的面 纱．事 实上 这 样 r2 l，r — Y 一 1 — 0 ． 的直线不存在，因为{ ， v。 消去 Y得 2x I r一 一 l ， 一4l，r+ 3— 0 ，其 △一一8< O，即直线 与 曲线 C 无交 点． 1．1错解 破译 本 题 中所求 中点 弦 的存 在 完 全 依 赖 于 它 的 斜 率 存 在 与否 (若 直线 与 ．，r 轴 垂直 时显 然不 合题 意 )．上 面 解 法是 首先肯 定 了直线 的存在 ，从 而 得 到 了它 的斜率 k一2，这 是忽 略 命题 存 在性 导致 的错 误 ．其 实 直 线 的 斜率 k一2 是 以 P 为 中点 的 双 曲线 弦所 在 直线 方程 的 必要 条件 ，在一 个不 真 的条件 下 推 出 的结论 当然 就不 一定正 确 了． 1．2分析与 推广 结 论 1 当 点 P ( XO，Yo) 落 在 双 曲线 一 ：1 与其 渐 近线 之 间 a 。 ’ ～一’⋯ 的部分 时 ( 图 1 中虚 线 条 状 阴影 部 分 ) ，即若 对任 一 有 < }．，r。l < ，则 以 P 为 中点 的 双 Y ． 图 1 曲 线 的 弦...
