第五单元 三角形第 25 课时 解直角三角形的应用教学目标【考试目标】能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.【教学重点】掌握仰角、俯角，坡度、坡角，方向角等概念；学会把实际问题抽象化.教学过程一、体系图引入，引发思考二、引入真题 、归纳考点【例 1】（2025 年呼和浩特）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔 AE 的高度．如图，已知塔基顶端 B（和 A、E 共线）与地面 C 处固定的绳索的长 BC 为80m ．她先测得∠BCA=35°，然后从 C 点沿 AC 方向走30m 到达 D 点，又测得塔顶 E 的仰角为 50°，求塔高 AE．（人的高度 忽略不计，结果用含 非特别角的三角函数表示）【解析】在 Rt△ABC 中，∠ACB=35°，BC=80m，∴cos∠ACB= AC/AB，∴AC=80cos35°.在 Rt△ADE 中，tan∠ADE=AE/AD， AD=AC+DC=80cos35°+30，∴AE=（80cos35° +30）tan50°．答：塔高 AE 为（80cos35°+30）tan50°m【例 2】（2025 年临沂）一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向，距离灯塔 20 海里的 A 处，它向东航行多少海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处（参考数据： ≈1.732，结果精确到 0.1）？【解析】如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，在 Rt△APC 中， cos∠APC=PC//AP，∴PC=20•cos60°=10，在△PBC 中， ∠BPC=45°， ∴△PBC 为等腰直角三角形，∴BC=PC=10，答：它向东航行约 7.3 海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处．【例 3】（2025 年济宁）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡 度为 1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： .（1）求新坡面的坡角 a； （2）原天桥底部正前方 8 米处（PB 的长）的文化墙 PM 是否需要拆桥？请说明理由．【解析】（1） 新坡面的坡度为 1： ，∴tanα=tan∠CAB= = .∴∠α=30°． 答：新坡面的坡角 a 为 30°；（2）文化墙 PM 不需要拆除． 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 CD=6， 坡面 BC 的坡度为 1：1，新坡面的坡度为 1： ，∴BD=CD=6，AD=6 ，∴AB=AD﹣BD=6 -6＜8，∴文化墙 PM 不需要拆除．【例 4】如图 1 是一副创意卡通圆规，图 2 是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 B 可绕点 A 旋转作出圆．已知 OA=OB=10cm． （1）当∠AOB=18°时，...
