北京市中学生数学竞赛初二

2025 年北京市中学生数学竞赛（初二）试题一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1.若，则=（ ）A．5 B. C. D. 2.已知一个面积为 S 且边长为 1 的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为 A 的小正六边形的顶点. 则=（ ）A． B. C. D. 3.在数 29 998，29 999，30 000，30 001 中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）A．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 9984.已知 A（，），B（，）是反比例函数在平面直角坐标系的第一象限上图象的两点，满足，. 则（ ）A． B. C. D. 5.有 2 015 个整数，任取其中 2 014 个相加，其和恰可取到 1，2，…，2 014 这 2 014 个不同的整数值. 则这 2 015 个整数之和为（ ）A．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008二、填空题（每小题 7 分，共 35 分）1.在 1～10 000 的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.2. （表示不超过实数的最大整数）.3.在四边形 ABCD 中，已知 BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .4.已知 M 是连续的 15 个自然数 1，2，…，15 的最小公倍数.若 M 的约数中恰被这 15 个自然数中的 14 个数整除，称其为 M 的“好数”.则 M 的好数有 个.5.设由 1～8 的自然数写成的数列为，，…，.则+++++++的最大值为 .三、（10 分）已知.证明：，，三个数中至少有两个相等.四、（15 分）在凸四边形 ABCD 中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC 平分∠BCD.五、（15 分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为 2025.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）题号12345答案ABCBD5.设 2 015 个整数为，，…，.记++…+=M.不妨设 M-=（ =1，2，…，2025），M-=A.则 2025M=1+2+…+2025+A.故 A除以 2025 的余数为 1007.从而，A=1007，M=1008.当=1008- （=1，2，…，2025），=1 时取到.二、填空题（每小题 7 分，共 35 分）题号12345答案9 8834324.M=，则 M 的约数中恰能被这 15 个自然数中的 14 个整除的有四个，即、、、.5.由题意记 S=+++++++.该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大...