从 2008 年辽宁卷压轴题新解看灵活求导福建省厦门外国语学校 吴育文卷首评价:对于辽宁卷的高考压轴题，在简单之中也并没有遗忘考查学生的能力，现在我就这题的非参考答案解法提出求导要具有灵活性！设函数 f(x)=－lnx+ln(x+1).(Ⅰ )求 f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ )是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f(x)≥a 的解集为(0,+∞)?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在试说明理由. (2008 年辽宁卷 22 题) (压轴题) 解析:题目立足点基础,需要学生有较强的分析问题并解决问题的能力！(1) f’ (x)=, 令 f’(x)>0 有 01 所以 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减 所以 f(x)在 x=1 处唯一取到极大值 f(1)=ln2 所以 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),极大值为 ln2,无极小值. (2)当 00 当 x>1 时,f(x)=+[ ln(x+1)－lnx]>0 当 x=1 时,f(1)=ln2>0 所以,对于 x>0,f(x)>0 必成立 (i)a≤0 时, f(x)≥a 对(0,+ +∞)时恒成立; (ii)a>0 时,要使 f(x)≥a 对(0,+ +∞)恒成立,则 ln(1+)≥a－ 构造函数 g(x)= ln(1+)(x>0),显然 g(x)>0 g’(x)=－<0,从而 g(x)在(0,+ +∞)上单调递减,又=ln1=0 所以 a－≤0,即 a≤,记 t(x)=(x>0),从而 t’(x)= 当 00 矛盾, 所以 a>0 时并无满足条件的 a 存在 所以综上有 a≤0. 评价:本题第二步的难点是说明 a>0 时并没有符合条件的 a 存在.那么怎么推呢就是重点.本解法是应用求导判断最值的方法结合不等式推倒出来的.但是在求导中,对于高中同学来说的确是会遇到困难,t(x)=(x>0)的单调性不能完全判断,所以我们可以取巧,只去部分看,那就是(0,e)是可以判断出来的,借助于判断出来的部分函数的单调性来求解不失为一种省力的方法. 所以从上面的解法我们可以得到信息,要灵活地求导!，下面在看一到例子: (自编题) 已知函数 f(x)=(e 为自然对数的底数). (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若(ea+2)x2+ eax+ea－2≥0 对|x|≤1 恒成立,求 a 的取值范围;用心 爱心 专心 (3)求证:对于正数 a、b、μ,恒有 f[()2]－f()≥()2－. (本题仍然需要贯彻灵活求导的思想,希望读者在自己写一遍,去亲身感受一下!) 这种灵活应对求导的思想不单单应用在函数与导数的综合题里,今年的高...
