青海师范大学附属第二中学高中数学 3. 3.1 利用导数判断函数的单调性导学案 导学案 新人教 A 版选修 1-1【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递 f′(x)<0单调递 f′(x)＝0常函数探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系问题 1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题 2 若函数 f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么 f′(x)一定大于零吗？问题 3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题 1 中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例 1 已知导函数 f′(x)的 下列信息：当 10；当 x>4 或 x<1 时，f′(x)<0；当 x＝4 或 x＝1 时，f′(x)＝0.试画出函数 f(x)图象的大致形状.跟踪训练 1 函数 y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数 f′(x)图象的大致形状.例 2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x(ex－1)－x2； (2)f(x )＝3x2－2ln x.跟踪训练 2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π).探究点二 函数的变化快慢与导数的关系问题 我们知道导数的符号反映函数 y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数 y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例 3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.17 跟踪训练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只可能是 ( )【达标检测】1.函数 f(x)＝x＋ln x 在(0,6)上是( )A.单调增函数 B.单调减函数C.在上是减函数，在上是增函数 D.在上是增函数，在上是减函数2. f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是 ( )3.函数 f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为( )A. B. C.(0，＋∞) D.(0，a)4.(1)函数 y＝x2－4x＋a 的增区间为______，减区间为______.(2)函数 f(x)＝x3－x 的增区间为______，减区间为______.18
