复合函数本质属性的两种不同的认识 陕西洋县中学 （723300） 刘大鸣 http://www.DearEDU.com函数的综合问题大都是围绕复合函数的认识展开的，复合函数是 “由内向外，内层函数的值域为外层函数的定义域”复合而成，用函数图象的变换观点认识，是“先外层后内层，由基本的初等函数经过复合而来”.两种不同的认识揭示了复合函数的本质属性，为求解复合函数的综合问题提供了两种不同的方法，何时选用何种方法？1 用复合函数的观念研究函数的性态函数的定义域和值域之间的唯一对应关系，复合函数“由内向外”的复合过程为研究函数的性态提供了方法和依据.例 1 函数 f(x)满足 f(x2-3)=lg,则 f(x)的奇偶性为 简析：知复合函数求外层函数，外层函数由“对应法则和定义域”构成.用“换元法”且注意隐含条件的挖掘，正确求出内层函数的值域为外层函数的定义域是求解的关键.由题设 u=x2-3=(x2-6)+3>3.则 x2=u+3 代入有，f(u)=lg,u>3.故 f(x)=lg且定义域为为非奇非偶函数.注：忽略确定外层函数的定义域而误为奇函数.例 2 已知函数的值域为，求实数 的取值范围.简析：此题学生常常由，解得，，也满足.故所求 的范围为.追其原因是混淆定义域和值域，未理解复合函数“由内向外复合中定义域对外层函数值域的制约作用.事实上，复合函数认识=的值域为的值域为，由外层对数函数的定义域和值域的制约关系，即 取遍一切正数，其充要条件是，解得，.即实数 的取值范围.注：本题若函数的定义域为，则所求 的范围为.试比较两种的不同设问下的取值范围，再认识复合函数的复合过程，理解定义域到值域的唯一对应关系.例 3 求函数的值域.简析：这是用分段函数给出的表达式，怎样求值域呢？注意观察不同区间上的表达式， 发现与的指数互为相反数，故的表达式可以写成，这样以来就变为复合函数的值域问题，利用复合函数值域求法“由内向外层层拨，内层函数的值域为外层函数的定义域”.经过三次初等函数的值域，就可以求得原函数的值域 .2 图象变换的观念研究函数的性态函数的图象变换，其实质是对复合函数的复合过程的进一步认识，是常见的初等函数的复合函数，为确定图象的形状其变换的顺序应为“先外层，后内层，由基本的初等函数经过复合而来”.它是图象变换的最基本和最重要的方法.利用图象变换可做函数图象或简化解决复合函数的综合问题.例 4 求下列函数的单调区间. x=1x=-1⑴； ⑵ 简析：本题实质为做复合函数的图象，用图象变换的观念认...
