几道老题的巧解、妙解赏析 江苏省灌云县伊山中学（222200）潘龙海 E-mail:zhucuiling1975@163.com 电话：13961367330 多年高三的教师就有很深的体会，一些老题在资料上年年出现，所以对于教师而言就轻而易举，但我们并不能总以老方法对付老问题，你的解题没有创新，就没有吸引力，就不会精彩，下面根据平时教学的积累，介绍几道经典老题的巧解与妙解供大家欣赏.例1、已知且，求的取值范围.巧解：转化为线性规划问题. 由已知得即 作出可行域，如图 1 所示.a-c=-1a-c=-44a-c=-14a-c=5lmoDBACac又目标函数 由图可知，目标函数分别在点A、C 处取得最小值和最大值.由A（0，1）；由 得 C（3，7）妙解：借助向量分解定理.由记，显然不共线.根据向量分解定理得：用心 爱心 专心，即解得又 两式相加，得.例2、已知 、 、则 的取值勤范围是（）.（A） （B） （C） （D）巧解：联想构造函数.由，联想构造函数恒成立.故有 即，可解得妙解：联想构造直线和圆方程，利用直线和圆的位置关系.由， 可 知在 直 线上 ， 又 在 圆上，因此直线和圆有公共点，圆心到直线的距离不大于半径，即可解得例3、已知求证：巧解：用二次函数求最值.妙解：联想点到线的距离公式.由可看作点 P（）在直线段上，用心 爱心 专心可看作点 M（）与线段上的点 P（）之间的距离的平方.由于点到直线的距离是该点与直线上任意一点的距离最小值.由点到线的距离公式得.所以不等式成立.如图 2 所示.oxyM(-2,-2)11H例4、已知求证：巧解：构造复数令复数则，又 所以妙解：构造函数.设则 因为所以，所以.即等轴双曲线图像上支上任意一点的切线斜率的绝对值小于 1.因为，于是有过图像上两点 A的割线的斜率的绝对值也小于 1.所以.因此，即.用心 爱心 专心
