专题二数学思想方法(限时:45分钟)重点把关1.(2016·河南六市二联)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于(A)(A)1(B)2(C)-2(D)32.(2016·安徽百校二联)已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,c=λa+μb,若a⊥c,则下列结论正确的是(D)(A)λ-μ=0(B)λ+μ=0(C)2λ-μ=0(D)2λ+μ=03.(2016·湖北高三模拟)已知x,y满足+y2=1,则u=|2x+y-4|+|3-x-2y|的取值范围为(D)(A)[1,12](B)[0,6](C)[0,12](D)[1,13]解析:根据椭圆方程可得,直线2x+y-4=0与直线x+2y-3=0均与椭圆相离,且在含有椭圆的半平面内,均使2x+y-4<0,x+2y-3<0,所以u=-(2x+y-4)-(x+2y-3)=-3x-3y+7.设x=cosα,y=sinα,则u=-3(cosα+sinα)+7=-6sin(α+)+7∈[1,13].故选D.4.(2016·江西景德镇重点中学一联)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=a·b=2,(a-c)·(b-2c)=0,则|b-c|的最小值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:法一由已知,得向量a,b的夹角为.(a-c)·(b-2c)=0,即(a-c)·(-c)=0,即向量(a-c)⊥(-c),如图,把向量a,b,c的起点放置在点O,记OB中点为D,则点C在以AD为直径的圆E上,点B,C之间的距离即为|b-c|,所以|b-c|的最小值为|BE|-|AD|.在△OAD中,OA=2,OD=1,∠AOD=60°,可得|AD|=,且AD⊥OB,所以|BE|==,所以|BE|-|AD|=,即为所求的最小值.故选B.法二由已知,得向量a,b的夹角为.建立平面直角坐标系,设a=(2,0),b=(1,),c=(x,y),则(2-x,-y)·(1-2x,-2y)=0,整理,得(x-)2+(y-)2=()2.|b-c|的几何意义是圆(x-)2+(y-)2=()2上点(x,y)到点(1,)的距离,故其最小值为-=.故选B.5.(2016·福建厦门一检)已知点列An(an,bn)(n∈N*)是函数y=ax(a>0,a≠1)图象上的点,点列Bn(n,0)满足|AnBn|=|AnBn+1|,若数列{bn}中任意相邻三项能构成三角形三边,则a的取值范围是(B)(A)0
(B)(D)1时,bn-1bn+1,解得10),则a=3t,于是c2=a2+b2=9t2+·25t2=49t2.即c=7t.由余弦定理得cosC===-.所以C=.能力提升9.(2016·安庆二模)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且an=(n∈N*).若不等式≤对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.解析:an=⇒an==,⇒=(2n-1)an⇒an=2n-1,n∈N*.≤就是λ≤⇒λ≤2n-+15.2n-+15在n≥1时单调递增,其最小为9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9.答案:910.(2016·吉林四调)已知公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=(),设其前n项和为Sn,求证:≤Sn<.(1)解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由已知得=a2a9,即(a3+d)2=(a3-d)(a3+6d),又a3=7,d≠0,故d=3.从而a1=1,数列{an}的通项公式an=3n-2.(2)证明:由(1)知bn=()3n-2,故Sn==[1-()n]<.又bn=()3n-2>0.因此Sn≥S1=,故≤Sn<.11.(2016·江西九江三模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,g(x)=ex(a∈R).(1)是否存在a及过原点的直线l,使得直线l与曲线y=f(x),y=g(x)均相切?若存在,求a动点值及直线l动点方程;若不存在,请说明理由;(2)若函数F(x)=在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.解:(1)因为g′(x)=ex,设曲线y=g(x)在点(x1,)处切线过原点,则切线方程为y=x,因为点(x1,)在切线上,所以=·x1,所以x1=1,所以切线方程为y=ex,设直线y=ex与曲线y=f(x)切于点(x2,y2),因为f′(x)=2x+a-,所以f′(x2)=2x2+a-=e,所以a=e-2x2+.又因为...
