福建省长泰一中高考数学一轮复习《两个平面垂直》学案例 1 如图所示，在四面体 S－ABC 中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面 ABC⊥平面 BSC．证明：略变式训练 1：如图，在三棱锥S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC． ⑴ 求证：AB⊥BC；⑵ 若设二面角 S－BC－A 为45°，SA＝BC，求二面角 A－SC－B 的大小．证明：(1) 作 AH⊥SB 于 H，则 AH⊥平面 SBC∴AH⊥BC， 又 SA⊥BC∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥ABCASDB基础过关ASBC∴△ADB 为等边三角形，∴E 是 AB 中点．∴AB⊥DE， PD⊥面 ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD． DE面 PED，PD面 PED，DE∩PD＝D，∴AB⊥面 PED， AB面 PAB．∴面 PED⊥面 PAB．（2）解： AB⊥平面 PED，PE面 PED，∴AB⊥PE．连结 EF， EF面 PED，∴AB⊥EF．∴ ∠PEF 为二面角 P－AB－F 的平面角．设 AD＝2，那么 PF＝FD＝1，DE＝．在△PEF 中，PE＝，EF＝2，PF＝1∴cos∠PEF＝即二面角 P－AB－F 的平面角的余弦值为．例 3.如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PD 的中点，又二面角 P－CD－B 为 45°．⑴ 求证：AF∥平面 PEC；⑵ 求证：平面 PEC⊥ 平面 PCD；⑶ 设 AD＝2，CD＝2，求点 A 到面 PEC的距离．证明：(1) 取 PC 的中点 G，易证 EG∥AF，从而 AF∥平面 PECCBDFPAE(2) 可证 EG⊥平面 PCD(3) 点 A 到平面 PEC 的距离即 F 到平面 PEC 的距离，考虑到平面 PEC⊥平面 PCD，过 F 作FH⊥PC 于Ｈ，则 FH 即为所求，由△PFH～△PCD 得 FH＝1变式训练 3：如图，在四棱锥 V－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD． ⑴ 证明：AB⊥平面 VAD；⑵ 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小．（1）证明：平面 VAD⊥平面 ABCDAB⊥AD AB⊥平面 VADAB平面 ABCDAD＝平面 VAD∩平面 ABCD（2）解：取 VD 的中点 E，连结 AE、BE． △VAD 是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD． AB⊥平面 VAD，∴AB⊥AE．又由三垂线定理知 BE⊥VD．于是 tan ∠AEB＝＝,即得所求二面角的大小为 arc tan例 4．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，四边形 A1ABB1是菱形，四边形 BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.⑴ 求证：平面 CA1B⊥平面 A1ABB1；⑵ 求直线 A1C 与平面 BCC1B1所成角的正切值；(3) ...
