高考数学 对一道轨迹题的探究与推广素材

对一道高考轨迹题的探究与推广普通高中《数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”，“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”．下面通过对一道高考题（江苏卷）的反思、探究、推广，介绍自己在这方面所做的一次尝试。考题：如图 1，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，O1O2=4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN（M、N 分别为切点），使得2.PMPN试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程． 本题是由一动点出发的两条线段之比为定值的点的轨迹．一个很自然的想法是将题中的比改为和，点 P 的轨迹还是圆吗？探究一 若将题中的条件PNPM2改为mPNPM，其他条件不变，则 P 点的轨迹将是什么呢？ 解：以 O1O2 所在直线为 x 轴, O1O2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系(下同),设P(x,y), 则mPNPM 即22222)1(2)1xyxym（ ①化简并整理得 222222464412mxm ymm ②⑴ 若2 2m 时,则①不表示任何图形（也即 P 的轨迹不存在）. ⑵ 若2 2m 时,则①表示两个点(-1,0)、（1，0）.⑶ 若 2 22 3m时,则①表示焦点在 x 轴的双曲线②的一段(如图2). ⑷ 若2 3m 时,则①表示两条线段,333322yxx  (如图 3).⑸ 若 2 34m时,则①表示焦点在 y 轴的双曲线②的一段(如图 4). ⑹ 若4m  时,则①表示两条线段,122yx   (如图 5)． ⑺ 若42 6m时,则①表示椭圆②的一段(如图 6)．⑻ 若2 6m 时,则①表示椭圆2239xy (如图 7).⑼ 若2 6m 时,则①表示椭圆②(如图 8). 用心 爱心 专心1图1O2O1yxNMPO图2O2O1yx图3O2O1yxO图4O2O1yx探究二 若将题中的一个圆改为一定直线，即把圆 O2改为直线 x=2，其他条件不变, 则 P 点的轨迹又将是什么呢？解: 设 P(x,y), 则mPNPM(如图 9) 即222)12xyxm（ ③222)1xy（= 2xm 2x  ④ 2xm 2x  ⑤④ 化简并整理得 222441ymxmm ⑥⑤ 化简并整理得 222441ymxmm ⑦⑴ 若3m 时,则③不表示任何图形（也即 P 的轨迹不存在）.⑵ 若3m  时,则③表...