函数与方程【考点梳理】1．函数的零点(1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，那么函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 x0∈(a，b)，使得 f ( x 0) ＝ 0 .2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴的交点( x 1,0) ， ( x 2,0)( x 1,0)无交点零点个数210【考点突破】考点一、函数零点所在区间的判断【例 1】设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[答案] B[解析] 法一： f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，∴f(1)·f(2)<0， 函数 f(x)＝ln x＋x－2 的图象是连续的，∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1，2)．【类题通法】判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．【对点训练】函数 f(x)＝ln x＋x－－2 的零点所在的区间是( )A． B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3)[答案] C[解析] 易知 f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，且 f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故 f(x)的零点在区间(2，e)内.考点二、判断函数零点的个数【例 2】函数 f(x)＝的零点个数是________．[答案] 3[解析] 当 x＞0 时，作函数 y＝ln x 和 y＝x2－2x 的图象，由图知，当 x＞0 时，f(x)有 2 个零点；当 x≤0 时，由 f(x)＝0 得 x＝－，综上，f(x)有 3 个零点．【类题通法】判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程 f(x)＝0 有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个...
