专题 15 导数的综合应用1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.会利用导数解决某些实际问题． 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)；(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．高频考点一 用导数解决与不等式有关的问题例 1、已知函数 f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为 x＋y＋3＝0.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立；(3)若 0
.(1)解 将 x＝－1 代入切线方程得 y＝－2，所以 f(－1)＝＝－2，化简得 b－a＝－4.①f′(x)＝，f′(－1)＝＝－1.②联立①②，解得 a＝2，b＝－2.所以 f(x)＝.1 (3)证明 因为 01，由(2)知 ln>，整理得>，所以当 0.【方法规律】证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)证明不等式 f(x)f(b)，然后利用函数 f(x)的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令 x＝然后再利用已知关系证明即可.【变式探究】 (2016·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x∈(1，＋∞)时，1<1，证明当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.(1)解 依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝－1，令 f′(x)＝0，得 x＝1，∴当 00，f(x)单调递增.当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减.(2)证明 由(1)知 f(x)在 x＝1 处取得最大值，且最大值 f(1)＝0.所以当 x≠1 时，ln x1，设 g(x)＝1＋(c...
