第 3 讲 平面向量的数量积及应用[考纲解读] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容．预测 2021 年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围．题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.1.两个向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是 a 与 b的夹角设 θ 是 a 与 b 的夹角，则 θ 的取值范围是 [0，π]θ＝0 或 θ＝π⇔a ∥ b ，θ ＝ ⇔ a ⊥ b 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量| a || b |·cos θ 叫做 a 与b 的数量积，记作 a·b投影| a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，| b |cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ 的乘积3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a · b ＝ 0 .(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝| a | 2 或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤| a || b | .4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b · a ；(2)(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) (λ 为实数)；(3)(a＋b)·c＝a · c ＋ b · c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，由此得到：(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x 2 ＋ y 2 或|a|＝ ；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝ ；(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ；(4)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则cosθ＝ .1．概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )(2)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；...
