第 7 节 利用空间向量求空间角考试要求 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知 识 梳 理1.异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角 βl1与 l2所成的角 θ范围(0，π)求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝2.求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos 〈 a ， n 〉 | ＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 .(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角).[常用结论与微点提醒]1.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α，β 的法向量 n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].( )解析 (1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量 n，直线与平面所成的角为 θ，则 sin θ＝|cosa，n| ；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材选修 2－1P104 练习 2 改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A.45° B.135° C.45°或 135° D.90°解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为 45°或 180°－45°＝135°.答案 C3.(老教材选修 2－1P112A 组 T4 改...
