第 3 讲 大题考法——解三角形考向一 正、余弦定理的基本应用【典例】 (2018·南充联考)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c－b＝2bcos A．(1)若 a＝2，b＝3，求边 c；(2)若 C＝，求角 B．解 (1)由 c－b＝2bcos A 及余弦定理 cos A＝，得＝，所以 a2＝b2＋bc，所以(2)2＝32＋3c，解得 c＝5．(2)因为 c－b＝2bcos A，所以由正弦定理得 sin C－sin B＝2sin Bcos A．因为 C＝，所以 1－sin B＝2sin Bcos A，所以 1－sin B＝2sin Bcos，即 1－sin B＝2sin2B，所以(2sin B－1)(sin B＋1)＝0，所以 sin B＝或 sin B＝－1(舍去)，因为 0＜B＜，所以 B＝．[技法总结] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[变式提升]1．(2018·揭阳三诊)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acos C＋(c－3b)cos A＝0．(1)求 tan A 的值；(2)若△ABC 的面积为，且 b－c＝2，求 a 的值．解 (1) acos C＋(c－3b)cos A＝0，∴sin Acos C＋(sin C－3sin B)cos A＝0，即 sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin Bcos A⇒cos A＝，∴tan A＝2．(2)S＝bcsin A＝bc·＝⇒bc＝3，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－bc＝4＋×3＝8⇒a＝2．2．(2018·宣城二调)△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c2＝4absin2C．(1)求 sin A·sin B；(2)若 A＝，a＝3，求 c 的大小．解 (1) c2＝4absin2C，∴由正弦定理，得 sin2C＝4sin A·sin B·sin2C，又△ABC 中，sin C≠0，∴sin A·sin B＝．(2)A ＝ 时 ， sin A ＝ ， 又 sin A·sin B ＝ ， ∴ sin B ＝ ， 又 A ＋ B ＜π，B∈(0，π)，∴B＝，∴a＝b＝3，C＝π－A－B＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝27，∴c＝3．考向二 与三角形面积有关的问题【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知(1)；(2)若 a＋c＝6，，求 b．[审题指导]① 看到三角恒等式，想到三角恒等变换公式，遇平方要降次② 看到求 cos B，想到条件中 A＋C 化为 B 后，恒等变换可求③ 看到三角形面积，想到恰当的选择相应的三角形面积公式[规范解答] (1)由题设及 A＋B＋C＝π 得sin B＝8sin2 ，2 分即 sin B＝4(1 － cos B ) ❶，3 分故 17cos2B－32cos B＋15＝0，4 分解得 cos B＝，cos B ＝ 1( 舍去 ) ❷.6 分(2)由...
