2.8.1 坐标系与参数方程1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程．[解] (1)由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 得 C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆．由题设知，C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点．当 l1与 C2只有一个公共点时，A 到 l1所在直线的距离为 2，所以＝2，故 k＝－或 k＝0，经检验，当 k＝0 时，l1与 C2没有公共点；当 k＝－时，l1与 C2只有一个公共点，l2与 C2有两个公共点．当 l2与 C2只有一个公共点时，A 到 l2所在直线的距离为 2，所以＝2，故 k＝0 或 k＝.经检验，当 k＝0 时，l1与 C2没有公共点；当 k＝时，l2与 C2没有公共点．综上，所求 C1的方程为 y＝－|x|＋2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为(θ 为参数)，过点(0，－)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点．(1)求 α 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．[解] (1)⊙O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝1.当 α＝时，l 与⊙O 交于两点．当 α≠时，记 tanα＝k，则 l 的方程为 y＝kx－.l 与⊙O 交于两点当且仅当<1，解得k<－1 或 k>1，即 α∈或 α∈.综上，α 的取值范围是.(2)l 的参数方程为(t 为参数，<α<)．设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tP＝，且 tA，tB满足 t2－2tsinα＋1＝0.于是 tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点 P 的坐标(x，y)满足所以点 P 的轨迹的参数方程是(α 为参数，<α<)．1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．
