第一讲 坐标系与参数方程考点一 极坐标方程及应用1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则2．几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r.(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acosθ.(3)当圆心位于 M，半径为 a：ρ＝2asinθ.3．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和 θ＝π＋θ0.(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.(3)直线过 M 且平行于极轴：ρsinθ＝b.[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16 得 C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此 C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB 面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当 α＝－时，S 取得最大值 2＋.所以△OAB 面积的最大值为 2＋.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．[对点训练](2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为(α 为参数)，直线 C2的方程为 y＝x.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A，B 两点，求＋.[解] (1)由曲线 C1的参数方程为(α 为参数)，得曲线 C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则 C1的极坐标方程为 ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线 C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为 θ＝(ρ∈R)．(2)由得 ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设 A，B 对应的极径分别为 ρ1，ρ2，则 ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，∴＋＝＝＝.考点二 参数方程及应用1．圆的参数方程以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是其中 α 是参数．2．椭圆的参数方程椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中 φ 是参数．3．直线的参数方程(1)经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α ...
