第三课时 定点、定值与探索性问题考向一 圆锥曲线中的定值问题【典例】 (2018·临沂质检)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．[思路分析]总体设计看到：求椭圆方程与定值问题．想到：利用特例得出定值再证明，或采用推理、计算、消元得定值．解题指导(1)利用待定系数法求椭圆方程；(2)先利用特殊情况得出定值，再推广到一般情况，即分别用直线斜率 k 表示出|OA|2、|OB|2和|OM|2，再化简求值.[规范解答] (1)将(1,1)与两点代入椭圆 C 的方程，得解得2 分∴椭圆 C 的方程为＋＝1. 4 分(2)证明：由|MA|＝|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A，B 关于原点对称.5 分① 若点 A，B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2． 6 分同理，若点 A，B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 是椭圆的一个短轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2．7 分② 若点 A，B，M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 y＝kx(k≠0)，则直线 OM 的方程为 y＝－x，设 A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，8 分由消去 y 得，x2＋2k2x2－3＝0，解得 x＝，y＝， 9 分∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，同理|OM|2＝， 10 分∴＋＋＝2×＋＝2. 11 分故＋＋＝2 为定值.12 分[技法总结] 求解定值问题的两大途径(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．[变式提升]1．(2018·益阳三模)已知抛物线 C1的方程为 x2＝2py(p＞0)，过点 M(a，－2p)(a 为常数)作抛物线 C1的两条切线，切点分别为 A，B．(1)过焦点且在 x 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线 C1交于 Q，N 两点，Q，N 两点在 x 轴上的射影分别为 Q′，N′，且|Q′N′|＝2，求抛物线 C1的方程；解 因为抛物线 C1的焦点坐标是，所以过焦点且在 x 轴上截距为 2 的直线方程是＋＝1，即＋＝1．联立消去 y 并整理，得 x2＋x－p2＝0，设点 Q(xQ，yQ)，N(xN，yN)，则 xQ＋xN＝－，xQxN＝－p2．则|Q′N′|＝|xQ－xN|＝＝＝ ＝2 ，解得 p＝2．所以抛物线 C1的方程为 x2＝4y．(2)设直线 AM，BM 的斜率分别为 k...
