解答题专项突破(三) 数列的综合应用从近几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有：①以客观题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，试题多以常规题为主；②等差、等比数列的通项与求和问题；③非等差、等比数列的通项与求和问题，此时常用到递推关系或转化成等差、等比的形式进行求解；④与函数、不等式等进行综合考查．备考时要熟练掌握等差、等比两种基本数列的通项与前 n 项和的求解，同时，针对性地掌握求数列通项公式与前 n 项和的几种常用方法．针对具体问题选取针对性的解决方案进行求解．热点题型 1 等差数列与等比数列的判定和通项问题\s\up7( ) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*.(1)求 a3，a4，a5，a6的值；(2)求数列{an}的通项公式．解题思路 (1)根据(3－1)a3－2a1＋2(－1－1)＝0，(3＋1)a4－2a2＋2(1－1)＝0，(3－1)a5－2a3＋2(－1－1)＝0，(3＋1)a6－2a4＋2(1－1)＝0.及 a1，a2的值，求 a3，a4，a5，a6.(2)递推公式中有(－1)n→分 n 为奇数和偶数讨论→判断是否为等差、等比数列→求通项公式．规范解答 (1)经计算 a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝.(2)当 n 为奇数时，an＋2＝an＋2，即数列{an}的奇数项成等差数列，∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1；当 n 为偶数时，an＋2＝an，即数列{an}的偶数项成等比数列，∴a2n＝a2·n－1＝n.因此，数列{an}的通项公式为 an＝\s\up7( ) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*.已知 a1＝1，a2＝，a3＝，且当 n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求 a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式．解题思路 (1)当 n＝2 时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，由此推出 a4与 a1，a2，a3的关系，求 a4.(2)用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)及 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1推出数列{an}的递推公式→求证为常数，其中 n∈N*.(3)由(2)求出 an＋1－an→构造等差数列，并求通项公式→求{an}的通项公式．规范解答 (1)当 n＝2 时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即 4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，整理得 a4＝，又 a2＝，a3＝，所以 a4＝.(2)证明：当 n≥2 时，有 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，即 4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1，所以 4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)，即 an＋2＝an＋1－an(n≥2)．经检验，当 n＝1 时，上式成立．因为＝＝＝为常数，且 a2－a1＝1，所以数列是以...
