第 4 讲 大题考法——导数的综合应用考向一 导数的简单应用问题【典例】 (2018·洛阳模拟)已知函数 f (x)＝＋n，g(x)＝x2(m，n，a∈R)，且曲线 y＝ f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝x－1．(1)求实数 m，n 的值及函数 f (x)的最大值；(2)当 a∈时，记函数 g(x)的最小值为 b，求 b 的取值范围．解 (1)函数 f (x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因 f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝x－1，所以解得：m＝1，n＝0，所以 f (x)＝，故 f′(x)＝，令 f′(x)＝0，得 x＝e，当 0＜x＜e 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x＞e 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以当 x＝e 时，f(x)取得最大值 f(e)＝．(2) g(x)＝xln x－－x，∴g′(x)＝ln x－ax＝x， －e＜a＜，∴f＝－e＜a，f(e)＝＞a，所以存在 t∈，g′(t)＝0，即 ln t＝at，当 x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当 x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以 g (x)的最小值为 b＝tln t－t2－t＝－t，令 b＝－t＝ h(t)，因为 h′(t)＝＜0，所以 h(t)在单调递减，从而 h(t)∈，即 b 的取值范围是．[技法总结] 求函数 y＝f(x)在某个区间上极值的步骤[变式提升]1．(2018·玉溪模拟)已知函数 f(x)＝xln x．(1)设函数 g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中 a∈R，讨论函数 g(x)的单调性；(2)若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，求直线 l 的方程．解 (1) f(x)＝xln x，∴g(x)＝f(x)－a(x－1)＝xln x－a(x－1)，则 g′(x)＝ln x＋1－a，由 g′(x)＜0，得 ln x＋1－a＜0，解得 0＜x＜ea－1；由 g′(x)＞0，得 ln x＋1－a＞0，解得 x＞ea－1．∴g(x)在(0，ea－1)上单调递减，在(ea－1，＋∞)上单调递增．(2)设切点坐标为(x0，y0)，则 y0＝x0ln x0，切线的斜率为 ln x0＋1，∴切线 l 的方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，又切线 l 过点(0，－1)，∴－1－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0－x0)，即－1－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，解得 x0＝1，y0＝0，∴直线 l 的方程为 y＝x－1．考向二 函数与导数的零点或方程的根的问题【典例】 已知函数 f(x)＝(x＋a)ex，其中 e 是自然对数的底数，a∈R．(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a＜1 时，试确定函数 g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．[规范解答] (1)因为 f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以 f′(x)＝(x＋a＋1)ex.1 分令 f′(x)＝...
