高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.3 基本不等式学案 理-人教版高三全册数学学案

6.3 基本不等式[知识梳理]1．基本不等式设 a>0，b>0，则 a、b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知 x＞0，y＞0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)．(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b 同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)2≤(a，b∈R)，2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．(5)≥≥ab(a，b∈R)．(6)≥≥≥(a>0，b>0)．[诊断自测]1．概念思辨(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的．( )(2)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(3)函数 f(x)＝sinx＋的最小值为 2.( )(4)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修 A5P99例 1(2))设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )A．80 B．77 C．81 D．82答案 C解析 由基本不等式 18＝x＋y≥2⇔9≥⇔xy≤81，当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值81，故选 C.(2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15 解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝时取等号．3．小题热身(1)下列不等式一定成立的是( )A．lg >lg x(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)答案 C解析 取 x＝，则 lg ＝lg x，故排除 A；取 x＝π，则 sinx＝－1，故排除 B；取 x＝0，则＝1，故排除 D.应选 C.(2)已知 x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则 xy 的最大值为________．答案 解析 2xy≤2＝，∴xy≤.∴xy 的最大值为.题型 1 利用基本不等式求最值角度 1 直接应用\s\up7( ) (2018·沈阳模拟)已知 a＞b＞0，求 a2＋的最小值．直接应用基本不等式．解 a＞b＞0，∴a－b＞0.∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当 b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即 a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值是 4.角度 2 变号应用\s\up7( ) 求 f(x)＝lg x＋的...