高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理-人教版高三全册数学学案

2.3 函数的奇偶性与周期性 [知识梳理]1．函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么 f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么 f(x)就叫做奇函数．(2)奇偶函数的性质① 奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于 y 轴 对称．② 若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．2．函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f (0) ＝ 0 .(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．对称性的三个常用结论(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x ＝ a 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x ＝ a 对称；(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点( b, 0) 中心对称．4．函数的周期性定义：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的实数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，称 T 为这个函数的周期．对于周期函数 f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．5．函数周期的常见结论设函数 y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2 a ；(2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2 a ；(3)若 f(x＋a)＝，则函数的周期为 2 a ；(4)若 f(x＋a)＝－，则函数的周期为 2 a ；(5)若函数 f(x)关于直线 x＝a 与 x＝b 对称，那么函数 f(x)的周期为 2|b－a|；(6)若函数 f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数 f(x)的...