高考数学二轮复习 专题六 函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题学案 理-人教版高三全册数学学案

第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题

真 题 感 悟1

(2018·全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax

若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A

y＝－2x B

y＝2x D

y＝x解析 因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，可得 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x

(2017·全国Ⅱ卷)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A

－2e－3 C

5e－3 D

1解析 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0a＝－1，则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝1，当 x1 时，f′(x)>0；当－22，令 f′(x)＝0 得，x＝或 x＝

当 x∈∪时，f′(x)0

所以 f(x)在，上单调递减，在上单调递增

(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当 a>2

由于 f(x)的两个极值点 x1，x2满足 x2－ax＋1＝0，所以 x1x2＝1

又 x2>x1>0，所以 x2>1

又 t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)＝－－(x1－x2)＋a(ln x1－ln x2)－(a－2)(x1－x2)＝a＝－a

设 φ(x)＝－x＋2l