高考数学二轮复习 专题六 函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题学案 理-人教版高三全册数学学案

第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A.y＝－2x B.y＝－xC.y＝2x D.y＝x解析 因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，可得 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.答案 D2.(2017·全国Ⅱ卷)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0a＝－1，则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝1，当 x<－2 或 x>1 时，f′(x)>0；当－2x1，设 t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)，试证明 t>0.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.(ⅰ)若 a≤2，则 f′(x)≤0，当且仅当 a＝2，x＝1 时 f′(x)＝0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递减.(ⅱ)若 a>2，令 f′(x)＝0 得，x＝或 x＝.当 x∈∪时，f′(x)<0；当 x∈时，f′(x)>0.所以 f(x)在，上单调递减，在上单调递增.(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当 a>2.由于 f(x)的两个极值点 x1，x2满足 x2－ax＋1＝0，所以 x1x2＝1.又 x2>x1>0，所以 x2>1.又 t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)＝－－(x1－x2)＋a(ln x1－ln x2)－(a－2)(x1－x2)＝a＝－a.设 φ(x)＝－x＋2ln x，x>1.由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且 φ(1)＝0，从而当 x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0.所以＋2ln x2－x2<0，故 t>0.考 点 整 合1.导数的几何意义函数 f(x) 在 x0处的导数是曲线 f(x...