第 3 讲 立体几何中的向量方法年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ直线与平面所成角的正弦值·T18(2) 高考对此部分的命题较为稳定，一般为解答题，多出现在第 18 或 19 题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上.卷Ⅱ二面角、直线与平面所成的角·T20(2)卷Ⅲ二面角的正弦值·T19(2)2017卷Ⅰ二面角的余弦值的求解·T18(2)卷Ⅱ二面角的余弦值的求解·T19(2)卷Ⅲ二面角的余弦值的求解·T19(2)2016卷Ⅰ二面角的余弦值的求解·T18(2)卷Ⅱ二面角的正弦值的求解·T19(2)卷Ⅲ线面角的正弦值的求解·T19(2) 利用空间向量证明平行与垂直(综合型)设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平 面 α 、 β 的 法 向 量 分 别 为 μ ＝(a2，b2，c2)、υ＝(a3，b3，c3)，则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. [典型例题] 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面 PAD；(3)平面 PCD⊥平面 PAD.【证明】 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得 B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由 E为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1)．(1)向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0.所以 BE⊥DC.(2)因为 AB⊥AD，又 PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，所以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，所以 AB⊥平面 PAD，所以向量AB＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量．而BE·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 BE⊥AB，又 BE⊄平面 PAD，所以 BE∥平面 PAD.(3)由(2)知平面 PAD 的一个法向量AB＝(1，0，0)，向量PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则即不 妨 令 y ＝ 1 ， 可 得 n ＝ (0 ， 1 ， 1) 为 平 面 PCD 的 一 个 法 向 量 ． 且 n·AB ＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 n⊥AB.所以平面 PCD⊥平面 PAD.利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)...
