第 3 讲 圆锥曲线的综合问题年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T19解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系．(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解.卷Ⅱ直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T19卷Ⅲ直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、证明问题·T202017卷Ⅰ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系·T20卷Ⅱ点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T20卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T202016卷Ⅰ定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T20卷Ⅱ直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20卷Ⅲ证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20 定点问题(综合型)[典型例题] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 λ1＋λ2＝－3，试证明：直线 l 过定点并求此定点．【解】 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又 a2＝b2＋c2，所以 a2＝3.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意设 P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l 的方程为 x＝t(y－m)，由PM＝λ1MQ，知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，所以 y1－m＝－y1λ1，由题意 y1≠0，所以 λ1＝－1.同理由PN＝λ2NQ知 λ2＝－1.因为 λ1＋λ2＝－3，所以－1＋－1＝－3，所以 y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，所以由题意知 Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有 y1＋y2＝，y1y2＝，③③ 代入①得 t2m2－3＋2m2t2＝0，所以(mt)2＝1，由题意 mt<0，所以 mt＝－1，满足②，故直线 l 的方程为 x＝ty＋1，过定点(1，0)，即 Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的 2 种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于 0...
