第二讲 三角恒等变换与解三角形考点一 三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.3．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).[对点训练]1．(2018·山西长治二模)已知 sinα＝，α∈，则 cos 的值为( )A. B.C. D.[解析] sinα＝，α∈，∴cosα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝，∴cos＝×－×＝.故选 A.[答案] A2．(2018·河南濮阳一模)设 0°<α<90°，若 sin(75°＋2α)＝－，则 sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )A. B. C．－ D．－[解析] 因为 0°<α<90°，所以 75°<75°＋2α<255°.又因为 sin(75°＋2α)＝－<0，所以 180°<75°＋2α<255°，角 75°＋2α 为第三象限角，所以 cos(75°＋2α)＝－.所以 sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15° ＋ α) ＝ sin(30° ＋ 2α) ＝ sin[(75° ＋ 2α) － 45°] ＝ [sin(75° ＋2α)·cos45°－cos(75°＋2α)·sin45°]＝×＝，故选 B.[答案] B3．(2018·豫北名校联考)计算： ＝________.(用数字作答)[解析] ＝＝＝＝.[答案] 4．(2018·河南六市联考)已知 cosα＝，cos(α－β)＝，若 0<β<α<，则 β＝________.[解析] 由 cosα＝，0<α<，得 sinα＝＝＝，由 0<β<α<，得 0<α－β<.又 cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝ ＝.由 β ＝ α － (α － β) 得 cosβ ＝ cos[α － (α － β)] ＝ cosαcos(α － β) ＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝. β∈，∴β＝.[答案] [快速审题] (1)看到三角函数求值，想到已知角与未知角间的和、差、倍的关系，想到公式求解．(2)看到三角函数的平方，想到用二倍角公式降幂．(1)三角恒等变换的三原则① 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如 2 题．② 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③ 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点① 分析已知角和未知角之间的关系，正...
