第 4 讲 导数的综合应用年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ讨论函数的单调性、不等式的证明·T21 导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值．(2)利用导数证明不等式或探讨方程的根．(3)利用导数求解参数的范围或值.卷Ⅱ不等式的证明、函数的零点问题·T21卷Ⅲ不等式的证明、极值点问题·T212017卷Ⅰ利用导数研究函数的单调性、函数的零点·T21卷Ⅱ利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21卷Ⅲ导数在研究函数单调性中的应用、不等式放缩·T212016卷Ⅰ函数的零点问题、不等式的证明·T21卷Ⅱ函数单调性的判断、不等式证明及值域问题·T21卷Ⅲ三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21利用导数研究函数的零点(方程的根)(综合型)[典型例题]命题角度一 根据函数零点求参数范围 (2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ex－ax2.(1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1；(2)若 f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a.【解】 (1)证明：当 a＝1 时，f(x)≥1 等价于(x2＋1)e－x－1≤0.设函数 g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则 g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.当 x≠1 时，g′(x)＜0，所以 g(x)在(0，＋∞)单调递减．而 g(0)＝0，故当 x≥0 时，g(x)≤0，即 f(x)≥1.(2)设函数 h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当 h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当 a≤0 时，h(x)＞0，h(x)没有零点；(ⅱ)当 a＞0 时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当 x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当 x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以 h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故 h(2)＝1－是 h(x)在[0，＋∞)的最小值．① 若 h(2)＞0，即 a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；② 若 h(2)＝0，即 a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；③ 若 h(2)＜0，即 a＞，由于 h(0)＝1，所以 h(x)在(0，2)有一个零点．由(1)知，当 x＞0 时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.故 h(x)在(2，4a)有一个零点．因此 h(x)在(0，＋∞)有两个零点．综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象的交点个数确定参数满足的条件，把问题转化...
