第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.C. D.解析 以线段 A1A2为直径的圆是 x2＋y2＝a2，直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝＝a，整理为 a2＝3b2即＝.∴e＝＝＝＝＝.答案 A2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1解析 由题设知＝，①又由椭圆＋＝1 与双曲线有公共焦点，易知 a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得 a＝2，b＝，则双曲线 C 的方程为－＝1.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________.解析 如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. 点 M 为 FN 的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案 64.(2017·全国Ⅱ卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：＋y2＝1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F.(1)解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，由NP＝NM得 x0＝x，y0＝y，因为 M(x0，y0)在 C 上，所以＋＝1，因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.(2)证明 由题意知 F(－1，0)，设 Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知 m2＋n2＝2.故 3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即O...
