第八节 函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，那么函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 x0∈(a，b)，使得f ( x 0) ＝ 0 .2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴的交点( x 1,0) ， ( x 2,0)( x 1,0)( 或 ( x 2,0))无交点零点个数2103.二分法(1)定义对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)二分法求函数零点近似值的步骤[常用结论]1．函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．2．若函数 f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2)函数 y＝f(x)，x∈D 在区间(a，b)⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac＜0 时没有零点．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B [ f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，∴函数 f(x)有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1A [由于 y＝sin x 是奇函数，y＝ln x 是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但没有零点，只有 y＝cos x ...
