第十节 变化率与导数、导数的计算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数与导函数的概念(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数称函数 y＝f(x)在 x0点的瞬时变化率为函数 y＝f(x)在点 x0处的导数，用 f ′(x0)表示，记作 f ′(x0)＝lim .(2)导数的几何意义函数 f(x)在点 x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点( x 0， f ( x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0)．(3)函数 f(x)的导函数如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f ′(x)：f ′(x)＝lim ，则 f ′(x)是关于 x 的函数，称 f ′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c 是常数)y′＝0y＝sin xy′＝cos x y＝xα(α 是实数)y′＝αx α － 1 y＝cos xy′＝－ sin x y＝ax (a＞0，a≠1)y′＝a x ln a 特别地(ex)′＝e x y＝tan xy′＝y＝logax (a＞0，a≠1)y′＝特别地(ln x)′＝y＝cot xy′＝－3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；(2)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；(3)′＝(g(x)≠0)．[常用结论]1．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点．2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．3．函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )(2)求 f ′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f ′(x0)．( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )(4)若 f(a)＝a3＋2ax－x2，则 f ′(a)＝3a2＋2x．( )1[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2...
