§2.3 函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以选择、填空题为主,中等难度.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( - x ) = f ( x ) ,那么函数 f (x)就叫做偶函数关于 y 轴 对称奇函数一般地,如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( - x ) =- f ( x ) ,那么函数 f (x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数 y=f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f ( x + T ) = f ( x ) ,那么就称函数 y=f (x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数 f (x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f (x)的最小正周期.概念方法微思考1.如果函数 f (x)是奇函数或偶函数,则 f (x)的定义域关于原点对称.2.已知函数 f (x)满足下列条件,你能否得到函数 f (x)的周期?(1)f (x+a)=-f (x)(a≠0).(2)f (x+a)=(a≠0).1(3)f (x+a)=f (x+b)(a≠b).提示 (1)T=2|a|;(2)T=2|a|;(3)T=|a-b|.3.若 f (x)对于定义域中任意 x,均有 f (x)=f (2a-x),或 f (a+x)=f (a-x),则函数 f (x)关于直线 x = a 对称.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.( × )(2)如果函数 f (x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f (x)+g(x)是偶函数.( √ )(3)若函数 y=f (x+a)是偶函数,则函数 y=f (x)关于直线 x=a 对称.( √ )(4)若 T 是函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )题组二 教材改编2.下列函数中为奇函数的是________.(填序号)①f (x)=2x4+3x2;②f (x)=x3-2x;③f (x)=;④f (x)=x3+1.答案 ②③3.已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f (x)=x(1+x),则 f (-1)=________.答案 -2解析 f (1)=1×2=2,又 f ...