高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11节 导数的应用（第3课时）导数与函数的综合问题教学案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案

第 3 课时 导数与函数的综合问题利用导数解决不等式的有关问题►考法 1 证明不等式【例 1】 (2018·郑州二模)已知函数 f(x)＝ln x－2ax＋1(a∈R)．(1)讨论函数 g(x)＝x2＋f(x)的单调性；(2)若 a＝，证明：|f(x)－1|＞＋.[解] (1)由题意知函数 y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)＝x2＋ln x－2ax＋1，则 g′(x)＝＋2x－2a＝(x＞0)，记 h(x)＝2x2－2ax＋1，① 当 a≤0 时，因为 x＞0，所以 h(x)＞0，故函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；② 当 0＜a≤时，因为 Δ＝4(a2－2)≤0，所以 h(x)≥0，故函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；③ 当 a＞时，由 g′(x)＜0，解得 x∈，所以函数 g(x)在区间上单调递减，同理可得函数g(x)在区间，上单调递增．(2)证明：当 a＝时，设 H(x)＝f(x)－1＝ln x－x，故 H′(x)＝，故 H′(x)＜0，得 x＞1，由 H′(x)＞0，得 0＜x＜1，所以 H(x)max＝f(1)－1＝－1，所以|H(x)|min＝1.设 G(x)＝＋，则 G′(x)＝，由 G′(x)＜0，得 x＞e，由 G′(x)＞0，得 0＜x＜e，故 G(x)max＝G(e)＝＋＜1，所以 G(x)max＜|H(x)|min，所以|f(x)－1|＞＋.►考法 2 由不等式恒(能)成立求参数的范围【例 2】 已知函数 f(x)＝.(1)如果当 x≥1 时，不等式 f(x)≥恒成立，求实数 k 的取值范围；(2)若∃x0∈[1，e]，使不等式 f(x0)≥成立，求实数 k 的取值范围．[解] (1)当 x≥1 时，k≤恒成立，令 g(x)＝(x≥1)，则 g′(x)＝＝.再令 h(x)＝x－ln x(x≥1)，则 h′(x)＝1－≥0，所以 h(x)≥h(1)＝1，所以 g′(x)＞0，所以 g(x)为单调增函数，所以 g(x)≥g(1)＝2，故 k≤2，即实数 k 的取值范围是(－∞，2]．(2)当 x∈[1，e]时，k≤有解，令 g(x)＝(x∈[1，e])，由(1)题知，g(x)为单调增函数，所以 g(x)max＝g(e)＝2＋，所以 k≤2＋，即实数 k 的取值范围是.[规律方法] 1.利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：fx＞gx.法一：移项，fx－gx＞0，构造函数 Fx＝fx－gx，转化证明 Fxmin＞0，利用导数研究 Fx单调性，用上定义域的端点值.法二：转化证明：fxmin＞gxmax.法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略1 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.2 也可分离变量，构造...