三、分类与整合思想 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.方法一 公式、定理分类整合法模型解法公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：① 分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．② 依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．③ 汇总结论，汇总分类结果，得结论．典例 1 设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn>0 (n＝1,2,3，…)，则 q 的取值范围是________．解析 由{an}是等比数列，Sn>0，可得 a1＝S1>0，q≠0，当 q＝1 时，Sn＝na1>0.当 q≠1 时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，则有①或②由①得－11.故 q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案 (－1,0)∪(0，＋∞)思维升华 公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等．跟踪演练 1 Sn是等比数列{an}的前 n 项和，若 S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比为( )A. B．2 C．－ D．－2答案 D解析 设{an}的公比为 q(q≠0)，由等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4，S3，S5成等差数列，得 2S3＝S4＋S5.当 q＝1 时，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1，此时 2S3≠S4＋S5，不满足题意；当 q≠1 时，有＝＋，即 q2＋q－2＝0，解得 q＝－2 或 q＝1(舍去)．方法二 位置关系的分类整合法模型解法对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点：① 确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．② 分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．③ 得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．典例 2 在约束条件下，当 3≤s≤5 时，z＝3x＋2y 的最大值的变化范围是( )A．[6,1...
