第 4 讲 导数的热点问题利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一 利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．(1)当 x>1 时，求 f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意 x∈[e，e2]，都有 f(x)<4ln x 成立，求 k 的取值范围；(3)若 x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)，证明：x1x21，所以 f′(x)＝ln x－k>0，函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间，无极值；② 当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek，当 1ek时，f′(x)>0.所以函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)，在区间(1，＋∞)上的极小值为 f(ek)＝(k－k－1)ek＝－ek，无极大值．(2)解 由题意，f(x)－4ln x<0，即问题转化为(x－4)ln x－(k＋1)x<0 对于 x∈[e，e2]恒成立．即 k＋1>对 x∈[e，e2]恒成立．令 g(x)＝，则 g′(x)＝，令 t(x)＝4ln x＋x－4，x∈[e，e2]，则 t′(x)＝＋1>0，所以 t(x)在区间[e，e2]上单调递增，故 tmin＝t(e)＝e－4＋4＝e>0，故 g′(x)>0，所以 g(x)在区间[e，e2]上单调递增，函数 gmax＝g(e2)＝2－.要使 k＋1>对于 x∈[e，e2]恒成立，只要 k＋1>gmax，所以 k＋1>2－，即实数 k 的取值范围为.(3)证明 因为 f(x1)＝f(x2)，由(1)知，函数 f(x)在区间(0，ek)上单调递减，在区间(ek，＋∞)上单调递增，且 f(ek＋1)＝0.不妨设 x10，所以函数 h(x)在区间(0，ek)上单调递增，故 h(x)
