高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第5节 利用导数解决不等式恒（能）成立问题教学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第五节 利用导数解决不等式恒(能)成立问题考点 1 恒成立问题 分离参数法求范围 若 f(x)≥a 或 g(x)≤a 恒成立，只需满足 f(x)min≥a 或 g(x)max≤a 即可，利用导数方法求出 f(x)的最小值或 g(x)的最大值，从而问题得解． 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2 恒成立，求实数 a 的取值范围．[解] (1)因为函数 f(x)＝xln x 的定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x＋1.令 f′(x)＜0，得 ln x＋1＜0，解得 0＜x＜，所以 f(x)的单调递减区间是.令 f′(x)＞0，得 ln x＋1＞0，解得 x＞，所以 f(x)的单调递增区间是.综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)因为 g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得 2xln x≤3x2＋2ax＋1 恒成立．因为 x＞0，所以 a≥ln x－x－在 x∈(0，＋∞)上恒成立．设 h(x)＝ln x－x－(x＞0)，则 h′(x)＝－＋＝－.令 h′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝－(舍)．当 x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值所以当 x＝1 时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)max＝h(1)＝－2，所以若 a≥h(x)在 x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a≥h(x)max＝－2，即 a≥－2，故实数 a 的取值范围是[－2，＋∞)． 利用分离参数法来确定不等式 f(x，λ)≥0(x∈D，λ 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为 f1(λ)≥f2(x)或 f1(λ)≤f2(x)的形式．(2)求 f2(x)在 x∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式 f1(λ)≥f2(x)max或 f1(λ)≤f2(x)min，得到 λ 的取值范围． 把参数看作常数利用分类讨论方法解决 对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围． 已知函数 f(x)＝ln x－ax，a∈R.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x)＋a＜0 在 x∈(1，＋∞)上恒成立，求 a 的取值范围．[解] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.① 当 a≤0 时，f′(x)＞0 恒成立，则 f(x)只有单调递增区间是(0，＋∞)．② 当 a＞0 时，由 f′(x)＞0，得 0＜x＜；1由 f′(x)＜0，得 x＞；所以 f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)f(x)＋a＜0 在 x∈(1，＋∞)上恒成立，即 ln x－a(x－1)＜0 在 x∈(1，＋∞)上恒成...