高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第5节 利用导数解决不等式恒（能）成立问题教学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第五节 利用导数解决不等式恒(能)成立问题(对应学生用书第 50 页)⊙考点 1 分离参数法解决不等式恒成立问题 利用分离参数法来确定不等式 f(x，λ)≥0(x∈D，λ 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为 f1(λ)≥f2(x)或 f1(λ)≤f2(x)的形式．(2)求 f2(x)在 x∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式 f1(λ)≥f2(x)max或 f1(λ)≤f2(x)min，得到 λ 的取值范围． 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2 恒成立，求实数 a 的取值范围．[解](1)因为函数 f(x)＝xln x 的定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x＋1.令 f′(x)＜0，得 ln x＋1＜0，解得 0＜x＜，所以 f(x)的单调递减区间是.令 f′(x)＞0，得 ln x＋1＞0，解得 x＞，所以 f(x)的单调递增区间是.综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)因为 g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得 2xln x≤3x2＋2ax＋1 恒成立．因为 x＞0，所以a≥ln x－x－在 x∈(0，＋∞)上恒成立．设 h(x)＝ln x－x－(x＞0)，则 h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝－(舍)．当 x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)↗极大值↘所以当 x＝1 时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)max＝h(1)＝－2，所以若 a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a≥h(x)max＝－2，即 a≥－2，故实数 a 的取值范围是[－2，＋∞)． 若 f(x)≥a 或 g(x)≤a 恒成立，只需满足 f(x)min≥a 或 g(x)max≤a 即可，利用导数方法求出 f(x)的最小值或 g(x)的最大值，从而问题得解． (2019·石家庄质量检测)已知函数 f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若 a＝1，求函数 f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当 x＞0 时，函数 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．[解](1)若 a＝1，则 f(x)＝xex－2(2x－1)．即 f′(x)＝xex＋ex－4，则 f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为 3x＋y－2＝0.(2)由 f(1)≥0，得 a≥＞0，则 f(x)≥0 对任意的 x＞0 恒成立可转化为≥对任意的 x＞0 恒成立．设函数 F(x)＝(x＞0)，则 F′(x)＝－.当 0＜x＜1 时，F′(x)＞0；1当 x＞1 时，F′(x)＜0，所以函数 F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 F(x)max＝F(1)＝.于是≥，解得 a≥.故...