第六节 利用导数解决函数的零点问题考点 1 判断、证明或讨论函数零点的个数 判断函数零点个数的 3 种方法直接法令 f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图像的函数，看其交点的个数即可定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为 f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有 2 个零点．[证明] (1)设 g(x)＝f′(x)，则 g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.当 x∈时，g′(x)单调递减，而 g′(0)＞0，g′＜0，可得 g′(x)在有唯一零点，设为 α.则当 x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当 x∈时，g′(x)＜0.所以 g(x)在(－1，α)单调递增，在单调递减，故 g(x)在存在唯一极大值点，即 f′(x)在存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当 x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而 f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,0)单调递减．又 f(0)＝0，从而 x＝0 是 f(x)在(－1,0]的唯一零点．(ⅱ)当 x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在单调递减，而 f′(0)＝0，f′＜0，所以存在 β∈，使得 f′(β)＝0，且当 x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当 x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在单调递减．又 f(0)＝0，f＝1－ln＞0，所以当 x∈时，f(x)＞0.从而，f(x)在没有零点．(ⅲ)当 x∈时，f′(x)＜0，所以 f(x)在单调递减．而 f＞0，f(π)＜0，所以 f(x)在有唯一零点．(ⅳ)当 x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1，所以 f(x)＜0，从而 f(x)在(π，＋∞)没有零点．综上，f(x)有且仅有 2 个零点． 根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图像，然后通过函数图像得出其与 x 轴交点的个数，或者两个相关函数图像交点的个数，基本步骤是“先数后形”． 设函数 f(x)＝ln x＋，m∈R.(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－零点的个数．[解] (1)由题意知，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋(x＞0)，则 f′(x)＝，∴当 x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减；当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋＝2，∴f(...
