8.7 抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．(2)y2＝ax 的焦点坐标为，准线方程为 x＝－.(3)直线 AB 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝.②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当 x1＝x2时，弦长最短为 2p.③＋为定值.④ 弦长 AB＝(α 为 AB 的倾斜角)．⑤ 以 AB 为直径的圆与准线相切．⑥ 焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是 x＝－.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a＞0)的通径长为 2a.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修 A1－1P64A 组 T2)抛物线 y＝x2(a≠0)的焦点坐标为( )A.或 B.C. D.答案 C解析 把方程写成 x2＝ay，若 a>0，则 p＝，焦点为 F；若 a<0，则 p＝－，开口向下，焦点为 F.故选 C.(2)(选修 A1－1P61例 4)若过抛物线 y2＝8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A．8 B．16 C．32 D．64答案 B解析 由抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 y＝x－2，代入 y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即 x2－12x＋4＝0，所以 x1＋x2＝12，弦长为 x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故选 B.3．小题热身(1)抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－＝1 的渐近线的距离是( )A. B. C．1 D.答案 B解析 由抛物线 y2＝4x，有 2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取其中一条 x－y＝0，由点到直线的距离公式，有 d＝＝.故选 B.(2)(2018·正定一模)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则＝________.答案 1＋解析 |OD|＝，|DE|＝b，|DC|＝a，|EF|＝b，故 C，...
