第 4 讲 推理与证明1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．热点一 归纳推理1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．2．归纳推理的思维过程如下：→→例 1 (1)(2017·日照市模拟)给出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，…，请从中归纳出第 n(n∈N*)个等式：＝________.n 个根号答案 2cos 解析 因为已知等式的右边系数是 2，角是等比数列，公比为，角满足，所以＝2cos.(2)(2017·山西省大同市灵丘豪洋中学模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4的规律，并依此规律，写出第 15 个图形中小正方形的个数是________．答案 120解析 a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n 将等式进行累加得 an＝⇒a15＝120.思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练 1 (1)(2017 届陕西省咸阳市二模)观察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第 n 个不等式是__________________．答案 ＋＋…＋<解析 不等式左边共有 n 项相加，第 n 项是，不等式右边的数依次是，，，，…，.(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100 个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．答案 503 解析 按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖(3×3－1)块，第 2 个图有白色地砖(3×5－2)块，第 3 个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第 100 个图中有白色地砖 3×201－100＝503(块)．第 100 个图中黑白地砖共有 603 块，则将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.热点二 类比推理1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．2．类比推理的思维过程如下：→...
