2.6.3 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C 交于 M，N 两点，则FM·FN＝( )A．5 B．6 C．7 D．8[解析] 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为 y＝(x＋2)，即 x＝y－2，由得 y2－6y＋8＝0.由根与系数的关系可得 y1＋y2＝6，y1y2＝8，∴x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4， F(1,0)，∴FM·FN＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故选 D.[答案] D2．(2017·全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10[解析] 由题意可知，点 F 的坐标为(1,0)，直线 AB 的斜率存在且不为 0，故设直线AB 的方程为 x＝my＋1.由得 y2－4my－4＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4. AB⊥DE，∴直线 DE 的方程为 x＝－y＋1，|DE|＝＋4，∴|AB|＋|DE|＝4m2＋4＋＋4＝4＋8≥4×2＋8＝16，当且仅当 m2＝，即 m＝±1 时，等号成立．∴|AB|＋|DE|的最小值为 16.故选 A.[答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°，是 k＝________.[解析] 由题意可知 C 的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为 k 的直线方程为 x＝＋1，设 A，B，将直线方程与抛物线方程联立得整理得 y2－y－4＝0，从而得 y1＋y2＝，y1·y2＝－4. M(－1,1)，∠AMB＝90°，∴MA·MB＝0，即·＋(y1－1)(y2－1)＝0，即 k2－4k＋4＝0，解得 k＝2.[答案] 24．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k>0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故 x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得 k＝－1(舍去)，或 k＝1，因此 l 的方程为 y＝x－1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 A...
