第 5 讲 向量与三角函数的综合问题 1. 平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件,提供解题的工具.2. 高考主要涉及的题型:(1) 以平面向量为工具,进行三角恒等变换运算;(2) 以平面向量为工具,进行解三角形运算;(3) 利用平面向量解决几何问题,特别是三角形问题.1. 设向量 a=(cos 10°,sin 10°),b=(cos 70°,sin 70°),则|a-2b|=________.答案:解析:|a-2b|=|(cos 10°-2cos 70°,sin 10°-2sin 70°)|==.2. 设 向 量 a = (cos α , - 1) , b = (2 , sin α) , 若 a⊥b , 则 tan(α - ) =________.答案:解析:由已知可得 a·b=2cos α-sin α=0,∴ tan α=2,tan(α-)==.3. 在△ABC 中,点 M 是边 BC 的中点,|AB|=4,|AC|=3,则AM·BC=________.答案:-解析:AM·BC=(AB+AC)·(AC-AB)=(|AC|2-|AB|2)=×(9-16)=-.4. (2018·株州模拟)在△ABC 中,(BC+BA)·AC=|AC|2,则△ABC 的形状一定是________.答案:直角三角形解析:由(BC+BA)·AC=|AC|2,得AC·(BC+BA-AC)=0,即AC·(BC+BA+CA)=0,2AC·BA=0,所以AC⊥BA,所以 A=90°.又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,故△ABC 一定是直角三角形., 一) 平面向量与恒等变换, 1) (2017·镇江期末)已知向量 m=(cos α,-1),n=(2,sin α),其中 α∈(0,),且 m⊥n.(1) 求 cos 2α 的值;(2) 若 sin(α-β)=,且 β∈(0,),求角 β 的大小.解:(1) 由 m⊥n,得 2cos α-sin α=0,所以 sin α=2cos α,代入 cos2α+sin2α=1,得 5cos2α=1,且 α∈(0,),则 cos α=,sin α=,则 cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=-.(2) 由 α∈(0,),β∈(0,),得 α-β∈(-,).因为 sin(α-β)=,所以 cos(α-β)=.则 sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.因为 β∈(0,),则 β=.点评:平面向量与三角函数综合问题的求解主要利用向量数量积运算的坐标形式,多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值问题相结合,计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点.(2018·南通中学月考)已知向量 a=,b=,且 x∈.(1) 求 a·b 及|a+b|...