第 6 讲 抛物线一、知识梳理1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等．(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋常用结论1．抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为 x＝－.3．如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ 为 AB 的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以 AB 为直径的圆与准线相切．(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切．二、教材衍化1．过点 P(－2，3)的抛物线的标准方程是( )A．y2＝－x 或 x2＝yB．y2＝x 或 x2＝yC．y2＝x 或 x2＝－yD．y2＝－x 或 x2＝－y解析：选 A.设抛物线的标准方程为 y2＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2，3)，解得 k＝－，m＝，所以 y2＝－x 或 x2＝y.故选 A.2．抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有( )A．0 个 B．1 个C．2 个 D．4 个解析：选 C.设 P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以 x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点 P 有两个．故选 C.3．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)若一抛物线过点 P(－2，3)，则其标准方程可写为 y2＝2px(p>0)．( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×二、易错纠偏(1)忽视抛物线的标准形式；(2)忽视 p 的几何意义；(3)忽视 k＝0 的讨论；(4)易忽视焦点的位置出现错误．1．...
