第 8 讲 曲线与方程一、知识梳理1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．曲线的交点设曲线 C1的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2的方程为 F2(x，y)＝0，则 C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)．(3)列式——列出动点 P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 x，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．常用结论1．“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．二、教材衍化1．已知点 F，直线 l：x＝－，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( )A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线解析：选 D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线．2．曲线 C：xy＝2 上任一点到两坐标轴的距离之积为________．解析：在曲线 xy＝2 上任取一点(x0，y0)，则 x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.答案：23．已知⊙O 的方程为 x2＋y2＝4，过 M(4，0)的直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以 P 点轨迹是以 OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分．以 OM 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O 的交点为(1，±)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上”的充要条件．( )(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．(...
