第三节 平面向量的数量积2019 考纲考题考情1．平面向量的数量积(1)向量的夹角① 定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是向量 a 与 b 的夹角。② 范围：设 θ 是向量 a 与 b 的夹角，则 0°≤θ≤180°。③ 共线与垂直：若 θ＝0°，则 a 与 b 同向共线；若 θ＝180°，则 a 与 b 反向共线；若 θ＝90°，则 a 与 b 垂直。(2)平面向量的数量积① 定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0。② 几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积。2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角。(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋ y 1y2。(2)模：|a|＝＝。(3)夹角：cosθ＝＝。(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·。3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)。(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)。(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。1．a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影不是一个概念，要加以区别。2．对于两个非零向量 a 与 b，由于当 θ＝0°时，a·b>0，所以 a·b>0 是两个向量a，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a·b＝0 也不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可能 a⊥b。3．在实数运算中，若 a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|；若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c。但对于向量 a，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c 不一定成立。4．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与a 不一定共线。一、走进教材1．(必修 4P108A 组 T6改编)已知 a·b＝－12，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|为( )A．12 B．6C．3D．3解析 a·b＝|a||b|cos135°＝－12，所以|b|＝＝6。答案 B2．(必修 4P104例 1 改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________。解析 由...
