4.2 平面向量基本定理及坐标表示 [知识梳理]1．平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－y2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝，|a＋b|＝.3．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成＝.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修 A4P119T11)已知|OA|＝1，|OB|＝，OA⊥OB，点 C 在线段 AB 上，∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等于( )A. B．3 C. D.答案 B解析 依题意，以 O 为原点，OA、OB 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0，)，设 C(x，y)，由OC＝mOA＋nOB得 x＝m，y＝n，又∠AOC＝30°，知＝，故＝3，选 B.(2)(必修 A4P101A 组 T5)已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则＝________.答案 －解析 解法一：由已知条件可得 ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)． ma＋nb 与 a－2b 共线，∴＝，即 n－2m＝12m＋8n，∴＝－.解法二：注意到向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而 ma＋nb 与 a－2b 共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有＝⇒＝－.3．小题热身(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若 λ 为实数，(a＋λb)∥c，则 λ＝( )A. B. C．1 D．2答案 B解析 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.故选B.(2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－...
