4．3 平面向量的数量积及其应用[知识梳理]1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ 为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，由此得到(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x 2 ＋ y 2 或|a|＝.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝.(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cosθ＝.特别提醒：(1)a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影不是一个概念，要加以区别．(2)对于两个非零向量 a 与 b，由于当 θ＝0°时，a·b>0，所以 a·b>0 是两个向量a，b 夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0 也不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可能 a⊥b.(3)在实数运算中，若 a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若 a·b＝b·c(b≠0)，则 a＝c.但对于向量 a，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若 a·b＝b·c(b≠0)，则 a＝c 不一定成立．例如 a·b＝|a||b|cosθ，当 cosθ＝0 时，a 与 c 不一定相等．又如下图，向量 a 和 c 在 b 的方向上的投影相等，故 a·b＝b·c，但 a≠c.(4)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0.(5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(6)a·b 中的“·”不能省略．[诊断自测]1．概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )(3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )(4)在△ABC 中，AB·BC＝|AB|·|BC|cosB.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修 A4 P108T3)已知 a·b＝－12，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|为( )A．12 B．6 C．3 D．3答案 B解析 a·b...
