高考数学复习 专题03 立体几何 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直备考策略-人教版高三全册数学素材VIP专享

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直备考策略主标题：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：向量证平行，向量证垂直，向量求角，备考策略难度：2重要程度：4内容考点一 利用空间向量证明平行问题【例 1】 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.思路 若用向量证明线面平行，可转化为判定向量MN∥DA1，或证明MN与平面 A1BD 的法向量垂直．证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M ，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是MN＝，DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)．设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．则 n·DA1＝0，且 n·DB＝0，得取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n，又 MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.法二 MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1.∴MN∥DA1，又 MN 与 DA1不共线，∴MN∥DA1，又 MN⊄平面 A1BD，A1D⊂平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.【备考策略】 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．考点二 利用空间向量证明垂直问题【例 2】如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上．已知 BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM＝3.试证明平面 AMC⊥平面 BMC.证明 (1)如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 O－xyz.则 O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．于是AP＝(0,3,4)，BC＝(－8,0,0)，∴AP·BC＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以AP⊥BC，即 AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且点 M 在线段 AP 上，∴AM＝AP＝，又BC＝(－8,0,0)，AC＝(－4,5,0)，BA＝(－4，－5,0)，∴BM＝BA＋AM＝，则...