第六节 直接证明与间接证明、数学归纳法2019 考纲考题考情1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示→→…→ →→…→文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。3．数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当 n 取第一个值 n 0( n 0∈ N * ) 时命题成立，这一步是归纳奠基。(2)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立。1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。2．利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。3．数学归纳法两个步骤的联系：相互依存，缺一不可。一、走进教材1．(选修 2－2P89练习 T1改编)对于任意角 θ，化简 cos4θ－sin4θ＝( )A．2sinθB．2cosθC．sin2θD．cos2θ解析 因为 cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ。故选 D。答案 D2．(选修 2－2P89练习 T2改编)若 P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则 P，Q 的大小关系是( )A．P>QB．P＝QC．P
Q，只需 P2>Q2，即 2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需 a2＋13a＋42>a2＋13a＋40。因为 42>40 成立，所以 P>Q 成立。故选 A。答案 A二、走出误区微提醒：①“至少”否定出错；②应用分析法寻找的条件不充分；③不会用反证法解题。3．利用反证法证明“已知 a>0，b>0，且 a＋b>2，证明，中至少有一个小于 2”时的反设是________。解析 假设，都不小于 2，则≥2 且≥2。答案 ≥2 且≥24．若用分析法证明“设 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，求证0；②...
